滕飞

有这样一个问题：一共有12个从外观看来是一样的乒乓球，其中只有一个乒乓球与其他的乒乓球在质量上有差别，现在有一个没有砝码的天平，只能使用这个天平称3次，问如何才能找那个质量有异常的球。
开始接触这个问题的时候，先是想到怎么快速收敛乒乓球的个数，所以第一次将天平两边各放3个乒乓球，如果天平平衡，说明质量有异常的在没称的6个乒乓球中；如果天平不平衡，则说明在已称的6个乒乓球中。这样在未称的6个中想寻找那个质量有异常的乒乓球将是很困难的事，因为至少这6个乒乓球要比那6个已称的乒乓球要少称一次。
这时我们考虑将12个球分成8个与4个，这样我们称量这8个球时的结果至少可以缩小到4个球，这样就分成了3组4个球，问题就简化到了同样的高度，即每4个球都还有两次称量的机会。
开始只是在考虑异常的情况下，并没有将这重量（即“轻”与“重”）考虑进去，这样在解出6个球是3次可分的情况下，我们尝试将重量加入算法的属性，因为在理论上应该有12种可能的情况才可以满足已知条件，题的本意是每个球都可能是异常的，天平只有3中可能（即“平衡”、“左轻”和“右轻”）。所以我们不考虑轻重，只将其定义为异常时，只能测量2*2*2中可能，即判断8个球。
在分析问题时我们应该考虑这些问题
1．那些已经判断了其中没有异常的球的集合中，也能帮助我们解决问题，因为他们是确定下来的正常的球。
2．应该在每一步后尽量将问题缩小到同一个高度。这样问题将细化，解决一部分也就解决了全部。
3．在已经称量过的乒乓球中，应该记录它们的轻重。以便将问题的属性增加，减少二异性的处理。
4．在进行了一次称量后，应该尝试天平左右两盘同时加球，减球，互换的情况。也就是把问题变化着看的思想。
经过这样的思想过程，得出了以下的结论。
将12个球分别编号（1，2，3，……，12号球）。
第一次称量：将1，2，3，4放入天平左盘，将5，6，7，8放入天平右盘。
一、如果平衡，则异常的球在9，10，11，12中。
二、如果不平衡，假设左侧较轻（右侧轻是算法相同）。则有异常的球在1，2，3，4，5，6，7，8中。
第二次称量：
一、异常在9，10，11，12中时，将1（正常），2（正常），3（正常）放入左盘，将10，11，12放入右盘。
如果平衡，则9异常
如果不平衡，假设左侧轻（右侧轻）时，异常的球在10，11，12中，且其中较重的为异常（其中较轻的为异常）。
二、异常在1，2，……，8中时，将4，6，7，8放入左盘，将5，9（正常），10（正常），11（正常）放入右盘。
如果平衡，则1，2，3有异常，且较轻的为异常。
如果仍然左侧为轻，则说明4，5有异常。
如果右侧为轻，则说明6，7，8有异常，且重的有异常。
第三次称量：
一、异常在10，11，12时（较重的为异常），将10放入左盘，将11放入右盘。
如果平衡，则异常的球为12。
如果左轻，则异常的球为11。
如果右轻，则异常的球为10。
二、异常在1，2，3时（较轻的为异常），将1放入左盘，将2放入右盘。
如果平衡，则异常的球为3。
如果左轻，则异常的球为1。
如果右轻，则异常的球为2。
三、异常在4，5时，将4放入左盘，将12（正常）放入右盘。
如果平衡，则异常的球为5。
如果不平衡，则异常的球为4。
四、异常在6，7，8时（较重的为异常），将6放入左盘，将7放入右盘。
如果平衡，则异常的球为8。
如果左轻，则异常的球为7。
如果右轻，则异常的球为6。
综上可得到12个球的每个球有错误的情况。
    算法的发现和完善是一个比较漫长的过程，重要的是不要拘泥大脑已有的算法和思想，应该开阔自己的思路，发散思维。


文字